Врут ли математики?

В одной из дискуссий по поводу вранья, на то, что в математике нет вранья, я возразил, что его хватает. Конечно, это высказывание было принято за вздорное. Потом, однако, выяснилось, что говорить о вранье в математике есть самые серьезные основания. Почему? Расскажу об этом...

Лет шесть назад я написанный учебник (справочник) по математике. Книга была частью довольно большого проекта, но, к несчастью, была переделана методистами так, что от оригинала ничего не осталось.

Почему меня не устраивает то, как подается система аксиом? Потому что она подается неправильно. Создается иллюзия доказанности и ясности там, где нет ни ясности, ни доказанности (а есть только демонстрации "на пальцах"), где из-за неразберихи с аксиомами даже теоремы доказываются неверно.

Если ты хочешь разобраться в аксиоматике, твоя задача научиться видеть, что в математике казалось бы очевидное на самом деле совсем не очевидно. Видеть аксиомы, которые невозможно доказать, и выводить из них теоремы.

И ты должен понимать, что ты пока еще не разобрался со всеми операторами (словами типа "возьмем", "проведем", "докажем", "если", "то" и так далее), которых используется великое множество, на которые в школьных учебниках никто вообще не обращает внимания, будто бы их не существует и не существует той грамматики, которая их связывает. Что за аксиомами геометрии стоят также логика, теория чисел, теория множеств и прочие теории с их понятиями, аксиомами и теоремами. Авторам учебников следовало хотя бы оговорить, что на эти миры всё опирается, хотя сами эти миры пока не рассматриваются.

Теперь разбираемся с самими аксиомами и теоремами. Я говорил о том, что была теорема, которая была доказана неправильно, которая в принципе не могла быть доказана, так как она должна была быть принята за аксиому. Сейчас я не смогу дать ссылку на учебник, а также привести точные формулировки теорем. Я сейчас расскажу по памяти. Хотите верьте, хотите нет.

Перескажу логику рассуждений...

Итак, ты начинаешь работать с геометрией в пространстве (стереометрией). Тебе объясняют, что теперь нужно добавить пару аксиом, которые стали необходимыми при переходе в пространство. Ты начинаешь спрашивать себя: мы же не знали раньше, что пространства нет (аксиомы планиметрии этого не формулировали явно), почему же геометрия работала, не упустили ли мы чего? И находишь ответ: была аксиома, что через одну точку можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную (знаменитый Пятый Постулат). В стереометрии (Эвклида, не только Лобачевского) это, очевидно, уже не верно - существуют скрещивающиеся прямые.

Тогда ты спрашиваешь себя, а что в новой системе аксиом ограничивает переход в гиперпространство (пространство четвертого измерения)? Должна быть аксиома типа этой: через точку можно провести одну плоскость, не пересекающую данную. Но этой аксиомы нет. Это доказывают как теорему. Но это в принципе не может быть доказано как теорема (потому что в гиперпространстве могут быть скрещивающиеся плоскости, а выход в гиперпространство мы не запретили аксиоматически). Значит, в теореме надо искать ошибку доказательства.

Аналогично, не может быть доказано, что через точку можно провести только один перпендикуляр к плоскости. Но это доказывают, как теорему. Начинаешь разбираться с этой теоремой и обнаруживаешь, что они доказывают только, что через точку вне плоскости можно провести только один перпендикуляр к плоскости. Это верно. Но они не доказали, что через точку плоскости можно провести только один перпендикуляр, потому что это уже не верно в гиперпространстве. (Аналогично, в пространстве можно провести только один перпендикуляр к прямой из точки, которая не принадлежит прямой, и бесконечное множество перпендикуляров через точку, которая принадлежит прямой.) Не просто ошибка - непростительный ляп!

Ляпы простительные и непростительные

Есть простительные ляпы. К примеру, если под определение призмы попадает додекаэдр (о чем я читал в одной из критических статей), то это простительно. Все мы люди. Но если делаются системные ошибки, и после логического шага по отслеживанию того, что добавляется после перехода из геометрии на плоскости к геометрии пространства, не отслеживается запрет перехода в гиперпространство, то это уже серьезней.

Еще серьезней то, что эта ошибка вытекает из-за чудовищной непроработанности массы вопросов, которые должны были быть проработаны, что в свою очередь вытекает из-за отсутствия всякого сострадания к ученикам, которых заставляют учить то, что они не могут выучить (кроме "счастливых" обладателей магнитофонной способности воспроизводить без понимания). Тут уже не ошибки, тут уже ВРАНЬЁ. Школьникам впендюривается недоделанный продукт, хотя есть люди, которые могли бы справиться с задачей написания учебника лучше, которые, однако, не были допущены к работе.

Вся система подачи материала совершенно не продумана, не доработана и потому психотравматична. И вся эта непродуманность обрушивается на головы даже не десятиклассников - шестиклассников!

Я могу привести также примеры ляпов из учебника по матанализу (так называемая высшая математика). Вот ляп еще более ляпистый. Читал про теорему, что "существует только одна единица". У меня тогда мозги встали раком, когда я пытался понять эту рекурсию. Я потом понял, что имел в виду автор: "все единицы равны между собой", где единица по определению - это число, при умножении на которое мы получаем произведение равное самому числу.

Я могу привести примеры непродуманности ложно очевидных визуальных моделей. А чего стоит путаница с векторами по новой системе определений, которая зачем-то была введена вместо старой логичной. Теперь два разных вектора оказываются равны. Разные переменные оказываются равны!

И такая путаница везде на системном уровне. Слава богу, теоремы, даже если они не доказаны или доказаны ошибочно, работать не перестают, и помогают решать задачи.

Помни о вечности !